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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
d) ∫cos⁡(1+e−x)sin⁡(1+e−x)exdx\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x

Respuesta

Vamos a calcular ahora la integral:

∫cos⁡(1+e−x)sin⁡(1+e−x)exdx\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x

Arrancamos tomando la sustitución

u=1+e−xu = 1 + e^{-x}

du=−e−x dx=−1ex dxdu = -e^{-x} \, dx = -\frac{1}{e^x} \, dx 

Y eso es justo lo que nos aparece en nuestra integral! Así que en términos de uu nos queda:

∫cos⁡(1+e−x)sin⁡(1+e−x)exdx=∫cos⁡(u)⋅sin⁡(u) (−du)=∫−cos⁡(u)⋅sin⁡(u) du\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x = \int \cos(u) \cdot \sin(u) \, (-du) = \int -\cos(u) \cdot \sin(u) \, du

Y estamos frente a una integral que también sale por sustitución, así que tomamos:

t=−cos⁡(u)t = -\cos(u)

dt=sin⁡(u) dudt = \sin(u) \, du

La integral en términos de tt nos queda

∫−cos⁡(u)⋅sin⁡(u) du=∫t dt\int -\cos(u) \cdot \sin(u) \, du = \int t \, dt 

y resolvemos...

∫t dt=t22+C\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C 

Y ahora volvemos para atrás con las sustituciones que hicimos:

t22+C= (−cos⁡(u))22+C= (−cos⁡(1+e−x))22+C\frac{t^2}{2} + C = \frac{(-\cos(u))^2}{2} + C = \frac{(-\cos(1+e^{-x}))^2}{2} + C 

y este es el resultado de la integral :)
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ExaComunidad
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Victor
4 de junio 13:32
profe disculpe tantas preguntas jeje pero quiero sacarme la mayor dudas sobre este metodo. primero el -e a la -x dio -e a la -x porque se multiplico por (-1) al derivarla no ? o fue por alguna otra propiedad? . y segundo, en el resultado a mi me salio con el seno porq elegi sustituir el seno en vez del coseno, y en la guia tambien , el resultado es el mismo si se elige uno o el otro ? 
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Flor
PROFE
4 de junio 20:19
@Victor Hola Victor! No pasa nada, acá estoy! :)

-> Te referis a cuando tomamos u=1+e−xu = 1 + e^{-x}? Cuando la derivamos para obtener el dudu nos queda −e−x-e^{-x} por regla de la cadena (multiplicas por la derivada de −x-x que es −1-1)

-> Para la segunda integral es totalmente equivalente elegir sustituir el seno o el coseno... la expresión se va a ver distinta, pero están bien los dos caminos :)
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Victor
4 de junio 21:14
perfecto , entonces voy bien encaminado. gracias por contestar mis dudas profe!
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